Matematika SMP Kelas 7 – Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (Rangkuman Materi, Contoh Soal, dan Pembahasannya)

A. Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).

soal persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel

1. Bentuk Umum Persamaan Linear Satu Variabel

Kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu dinamakan persamaan linear satu variabel. Bentuk umum persamaan linear satu variabel di mana a tidak sama dengan 0 adalah sebagai berikut.

ax + b = 0

Contoh:
Tentukan kalimat terbuka berikut yang merupakan persamaan linear satu variabel!
a. 2x + 1 = 0
b. x – 1 = 3
c. 8y = 32
d. x + y = 0
e. x^2 – 3 = 12
f. x^2 + 2y – 1 = 0

Penyelesaian:
a. 2x + 1 = 0 merupakan persamaan linear satu variabel karena hanya memilki sebuah variabel berpangkat satu yaitu x.

b. x – 1 = 3 merupakan persamaan linear satu variabel karena hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu yaitu x.

c. 8y = 32 merupakan persamaan linear satu variabel karena hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu yaitu y.

d. x + y = 0 bukan merupakan persamaan linear satu variabel karena memiliki dua variabel, yaitu x dan y.

e. x^2 – 3 = 12 bukan merupakan persamaan linear satu variabel karena variabelnya berpangkat dua, yaitu x^2.

f. x^2 + 2y – 1 = 0 bukan merupakan persamaan linear satu variabel karena terdapat variabel berpangkat dua, yaitu x^2. Selain itu, variabelnya ada dua macam, yaitu x dan y.

2. Menemukan Konsep Persamaan Linear Satu Variabel

Bilangan pengganti variabel yang mengakibatkan suatu persamaan bernilai benar dinamakan penyelesaian persamaan linear. Himpunan penyelesaian persamaan linear adalah himpunan semua penyelesaianpersamaan linear. Himpunan penyelesaian persamaan linear dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu substitusi dan menentukan persamaan yang ekuivalen sebagai berikut.

a. Substitusi
Substitusi adalah mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga suatu persamaan menjadi kalimat yang bernilai benar. Variabel yang mengakibatkan persamaan linear satu variabel menjadi kalimat matematika yang benar adalah himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel tersebut.

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 6 = 0 di mana x merupakan bilangan cacah!

Penyelesaian:
Jika x diganti dengan bilangan cacah, kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan 2x – 6 = 0 maka akan diperoleh nilai x yang menjadikan persamaan menjadi benar sebagai berikut.
x = 0 maka 2(0) – 6 = 0 – 6 = -6 (salah)
x = 1 maka 2(1) – 6 = 2 – 6 = -4 (salah)
x = 2 maka 2(2) – 6 = 4 – 6 = -2 (salah)
x = 3 maka 2(3) – 6 = 6 – 6 = 0 (benar)
x = 4 maka 2(4) = 6 = 8 – 6 = 2 (salah)
Jadi, himpunan penyelesaian dari 2x – 6 = 0 adalah x = 3.

b. Persamaan yang ekuivalen
Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika himpunan penyelesaiannya sama. Persamaan yang ekuivalen dilambangkan dengan tanda “ “. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara menambahkan atau mengurangi atau mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x + 12 = 0!

Penyelesaian:
3x + 12 = 0
3x + 12 – 12 = 0 – 12
3x = -12
3x/3 = 12/3
x = -4
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 3x + 12 = 0 adalah x = -4.

3. Penerapan Persamaan Linear Satu Variabel

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan menyatakan permasalahan tersebut ke dalam model matematika. Selanjutnya model matematika diselesaikan dengan konsep-konsep penyelesaian persamaan linear satu variabel.

Contoh:
Pak Ali memiliki sebuah pekarangan berbentuk persegi panjang. Lebar pekarangan tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling pekarangan tersebut 48 m, tentukan luas pekarangan Pak Ali!

Penyelesaian:
Misalkan, panjang (p) = x, lebar (l) = x – 6, maka keliling (K) dapat dinyatakan dalam model matematika sebagai berikut.
K = 2 (p + l)
48 = 2 (x + x – 6)
Adapun penyelesaian dari model matematika tersebut adalah sebagai berikut.
48 = 2(2x – 6)
48 = 4x – 12
48 + 12 = 4x – 12 + 12
60 = 4x
60/4 = 4x/4
x = 15
Luas = p x l = x(x – 6) = 15(15 – 6) = 15 x 9 = 135 m^2
Jadi, luas pekarangan Pak Ali adalah 135 m^2.

BACA JUGA:

B. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah bentuk matematika yang memuat satu variabel berpangkat satu dan menggunakan tanda pertidaksamaan (<, >)

1. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel disebut juga pertaksamaan linear satu variabel. Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel di mana a tidak sama dengan 0 adalah sebagai berikut.
ax + b < 0
ax + b > 0

Contoh:
Nyatakan kalimat terbuka berikut yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel!
a. x + 1 < 0
b. 4x – 5 > 3
c. 4y > 32
d. x^2 – 2y + 7 < 0

Penyelesaian:
a. x + 1 < 0 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel karena hanya memiliki sebuah variabel berpangkat satu, yaitu x.

b. 4x – 5 > 3 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel karena hanya memiliki sebuah variabel brpangkat satu, yaitu x.

c. 4y > 32 merupakan pertidaksamaan linear satu variabel karena hanya memiliki sebuah variabel brpangkat satu, yaitu y.

d. x^2 – 2y + 7 < 0 bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel karena terdapat variabel berpangkat dua, yaitu x^2. Selaoin itu, variabelnya ada dua macam, yaitu x dan y.

soal dan pembahasan persamaan linear satu variabel

2. Himpunan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel adalah pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan sehingga pernyataan menjadi benar. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan seperti halnya himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan cara substitusi dan menentukan persamaan yang ekuivalen. Cara substitusi dilakukan seperti halnya penyelesaian persamaan linear satu variabel. Adapun penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dengan menentukan persamaan yang ekuivalen dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Menentukan penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “=” terlebih dahulu

b. Menyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 5 < 15 dengan x anggota bilangan asli dengan cara sebagai berikut!
a. Substitusi
b. Menentukan persamaan-persamaan yang ekuivalen

Penyelesaian:
a. Substitusi
Himpunan penyelesaian diperoleh dengan memasukkan bilangan asli ke dalam pertidaksamaan 2x + 5 < 15 sebagai berikut!
x = 1 maka 2(1) + 5 < 15
2 + 5 < 15
7 < 15 (benar)
x = 2 maka 2(2) + 5 < 15
4 + 5 < 15
9 < 15 (benar)
x = 3 maka 2(3) + 5 < 15
6 + 5 < 15
11 < 15 ( benar)
x = 4 maka 2(4) + 5 < 15
8 + 5 < 15
13 < 15 (benar)
x = 5 maka 2(5) + 5 < 15
10 + 5 < 15
15 < 15 (salah)
Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 5 < 15 adalah x < 5 atau x = {1, 2, 3, 4}

b. Menentukan persamaan yang ekuivalen
Tanda < pada 2x + 5 < 15 diganti dengan tanda = terlebih dahulu.
2x + 5 = 15
2x = 15 – 5
2x = 10
x = 5
masukkan salah satu bilangan cacah yang kurang dari dan lebih dari 5 pada pertidaksamaan, kemudian hasilnya diidentifikasi lebih lanjut, dipilih angka 4 dan 6 maka diperoleh nilai sebagai berikut.
x = 4 maka 2(4) + 5 < 15
8 + 5 < 15
13 < 15 (benar)
x = 6 maka 2(6) + 5 < 15
12 + 5 < 15
17 < 15 (salah)
Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 5 < 15 adalah x < 5 atau x = {1, 2, 3, 4}.

3. Penerapan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan model matematika. Penyelesaian model matematika dapat diselesaikan dengan menerapkan konsep pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:
Diketahui sebuah bangun persegi panjang mempunyai panjang (x + 7) cm dan lebar (x – 2) cm. jika kelilingnya tidak lebih dari 90 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut!

Penyelesaian:
Misalkan panjang 9p) = x + 7, lebar (l) = x – 2, maka keliling (K) dapat dinyatakan dalam model matematika sebagai berikut.
K = 2(p + l)
90 = 2(x + 7 + (x – 2))
Adapun penyelesaian dari model matematika tersebut adalah sebagai berikut.
90 = 2(x + 7 + (x – 2))
90 = 2(2x + 5)
90 = 4x + 10
90 – 10 = 4x + 10 – 10
80 = 4x
80/4 = 4x/4
x = 20
Luas = p x l = (x + 7)(x – 2) = (20 + 7)(20 – 2) = 27 x 18 = 486 cm^2
Jadi, luas pekarangan Pak Ali adalah 486 cm^2.

Demikian artikel tentang Matematika SMP Kelas 7 – Bab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (Rangkuman Materi, Contoh Soal, dan Pembahasannya). Semoga bisa bermanfaat untuk para pembaca yang baik ini. Terimakasih sudah mampir di blog kuncisoalmatematika.com.